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Docencia

La tablilla de Yale

Los métodos que hemos visto en las técnicas sencillas de computación numérica, resultan fáciles cuando poseemos ciertos conocimientos matemáticos. Una cuestión que a muchos intriga, es cómo conseguían los antiguos resultados tan precisos con el escaso material matemático que manejaban. Por ejemplo, los babilónicos obtuvieron una aproximación a raíz de dos con  seis cifras decimales.

En la tablilla de Yale (nº7289) que se encontró, con una datación de 2000-1650 aC, aparecía la representación de la diagonal del cuadrado y sobre ella la numeración que transcrita en sexagesimal simbolizaba el número

1;24,51,10=1+frac{24}{60}+frac{51}{60^2}+frac{10}{60^3}

dando aproximadamente 1,4142129. Pero, ¿cómo lo hicieron?.

Georg Cantor

Georg Cantor No hace mucho tiempo, en uno de mis primeras entradas de docencia hablé de conjuntos. Hoy os comento un poco del creador de la terioria de conjuntos como actualmente la conocemos.

Georg Cantor (n. San Petersburgo, 3 de marzo de 1845, m. Halle, 6 de enero de 1918) fue un matemático ruso cuyas ideas sentaron las bases de la teoría de conjuntos. Sin embargo, este trabajo le llevó a una lucha constante con las paradojas que se encontraba en el camino.

Descubrió que el infinito no es un cardinal igual en algunos conjuntos, probando que el conjunto de los números reales, R, tiene más elementos que el conjunto de los números racionales, Q, mientras que Q tiene los mismos que el conjunto de los números naturales, N.

Estas teorías le llevaron a fuertes enfrentamientos con los matemáticos de la época, negándole el reconocimiento que más tarde se demostró de su trabajo.

Los constantes trastornos maníaco-depresivos que padeció, terminaron con él recluido en un sanatorio mental donde murió.

Cálculo 1.04

Calculo

Nueva versión del libro de Cálculo. Ya está disponible en Bubok, la actualización a la versión 1.04.

Como las actualizaciones no eran muy diferenciables, solo corregían errores y aclaraban algún ejercicio, me he esperado para tener una versión más acorde con el resultado que debía haber sacado al principio. Espero que los que ya habéis adquirido el libro, me perdonéis las erratas, aunque todavía quedaran por corregir. Las correcciones podéis obtenerlas en pdf en la página del libro.

La sucesión de Fibonacci


La sucesión de Fibonacci  aparece por primera vez en occidente en el libro Liber Abaci de Leonardo de Pisa. Este matemático italiano del siglo XIII dC. pasó a la posteridad con el nombre de Fibonacci, probablemente apodo extraído de la expresión filius Bonacci (hijo de Bonacci). Durante su juventud viajó por muchos países del mediterráneo y el mundo musulmán, recopilando información de los matemáticos árabes, que cultivaban el saber más avanzado del momento. En el libro citado menciona:

«Cierto hombre tenía una pareja de conejos juntos en un lugar cerrado y uno desea saber cuántos son creados a partir de este par en un año cuando es su naturaleza parir otro par en un simple mes, y en el segundo mes los nacidos parir también».

Este problema dio pie a la famosa sucesión de Fibonacci. Posiblemente aprendida los métodos matemáticos de los hindúes, ellos ya habían trabajado con ella.

Como se deduce del enunciado la sucesión es

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34…

Esta resulta una sucesión recurrente de orden dos, que se obtiene dando dos elementos iniciales a0 y a1, siendo an=an-1+an-2 para n>1. En particular, si a0=a1=1 obtenemos la sucesión de Fibonacci. También conseguiríamos la misma sucesión, con un término más, partiendo de a0=0, a1=1, que a efectos de considerar la sucesión de términos no difiere. Sin embargo, cuando consideramos estudiar el límite de los cocientes an+1/an con un n que tiende a infinito, debemos percatarnos de cuál es el término de partida.

Álgebra y Aritmética modular

Álgebra y Aritmética modular

Al fin he conseguido terminar el libro de álgebra para el comienzo de la nueva asignatura. Como sabréis, en la titulación de Grado de Informática tenemos una asignatura que se denomina Álgebra y matemáticas para la computación. Esta asignatura es un compendio de álgebra lineal y matemáticas discretas, para ella, y como guía, el libro que os presento pretende adentrarse sobre la parte de álgebra lineal que incide más en las matrices y la aritmética entera y modular.

La aritmética entera y modular está muy de moda por su estrecha relación con los sistemas criptográficos de la actualidad. El RSA y PGP tan en boga utilizan procedimientos que se sientan sobre las bases de la aritmética modular.

Espero que el libro sirva para entender un poco más la asignatura y no resulte tan difícil de aceptar. De ante mano, pido disculpas por los errores que presente esta primera versión. La rapidez para que saliera no me ha permitido un proceso exhaustivo de corrección. Como en los otros iré actualizando y colgando las actualizaciones en el blog.

Lo podéis adquirir en bubok.com

Cuestión de criterio

Estudiemos el carácter de la serie

.

Podemos plantear resolverlo atacando directamente con el criterio del cociente:

Que la solución sea infinito nos impide utilizar el criterio como se menciona en el Teorema 9.2.8. Este teorema exige la existencia del límite; por tanto, no nos ayuda a resolver el problema. Sin embargo, nos ofrece una información muy útil.

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Volumen de sólidos de revolución

Planteemos calcular el volumen de un área en revolución, tanto sobre el eje OX como sobre el eje OY. En este caso el área de la región en cuestión esta comprendida entre dos funciones, , siendo  .

Si lo estudiamos sobre el eje OX, la región sería la determinada por la función g(x) menos la correspondiente a la función f(x); es decir,

V=V_g-V_f=piint_a^bg(x)^2,dx,-,piint_a^bf(x)^2,dx=piint_a^b(g(x)^2-f(x)^2),dx

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La parábola de Apolonio de Perge

El primero en usar la palabra parábola fue Apolonio de Perge (c. 262-190 a. C.), en su tratado Cónicas, donde estudia con profusión las curvas obtenidas al cortar un cono mediante un plano que no pasa por su vértice.


A Apolonio también le debemos el enseñarnos que un espejo parabólico refleja de forma paralela los rayos emitidos desde su foco, lo que constituye la base de las antenas parabólicas.

Entre las propiedades de la parábola surgió una curiosidad: ¿cómo encontrar el área encerrada bajo un segmento parabólico? Estudiando el problema de la cuadratura del círculo, Arquímedes, encontró la solución para hallar el área de un segmento parabólico, y lo publicó en el libro Sobre la cuadratura de la parábola. Para demostrar sus resultados utiliza el método de exhaución, ideado por Eudoxo de Cnido.

Sin embrago, este método presupone que conoces el resultado al que quieres llegar y Arquímedes no da muestra en sus trabajos de cómo han surgidos esas ideas. Wallis en 1676 escribiría: «Al parecer Arquímedes ocultó adrede las huellas de su investigación, como si hubiera sepultado para la posteridad el secreto de su método de investigación».

Volumen del toro

Calculemos el volumen de un toro generado en la rotación de una  circunferencia de radio alrededor de un eje a distancia del centro de la circunferencia.

Consideremos una circunferencia de radio , con el centro situado a una distancia del eje coordenado. Si hacemos girar la parte del semicírculo superior sobre el eje OY tendremos la mitad del toro que buscamos. La ecuación de la circunferencia en el primer cuadrante es .

Solo necesitamos aplicar la integral que nos permite calcular el volumen de un cuerpo en revolución:

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El gran metro de la ciencia

Esta mañana Luis me ha enviado un fascinante póster que publicó la revista Muy Interesante:

metro de la ciencia

Como podéis apreciar es una delicia. Me imagino que todos añadiríamos algún nombre, de quien pensamos que se han olvidado. Para mi faltan dos en Matemáticas: Arquímedes y Fermat.

Arquímedes fue el precursor del calculo integral y entre los que más, sino el que más, influyó en las matemáticas y física de finales del renacimiento.

Fermat se encuentra a la par de Descartes y Pascal, la diferencia es que Fermat utilizaba las matemáticas como entretenimiento y no se preocupó que la gente lo recordara como un genial matemático. En cierta medida es el precursor del cálculo diferencial y la teoría de números.

Y muchos más, tanto en matemáticas como en otras ciencias, pero hay que cortar en algún sitio. Es grato ver que revistas de divulgación empleen sus esfuerzos en hacernos llegar la verdadera importancia de los personajes que movieron el saber.

Sería interesante expandir el tramo de la informática, y hacerle más paradas. Si os animáis podríamos hacerlo entre todos. ¿Qué estación sería de partida?.