Estudiemos el carácter de la serie
.
Podemos plantear resolverlo atacando directamente con el criterio del cociente:
Que la solución sea infinito nos impide utilizar el criterio como se menciona en el Teorema 9.2.8. Este teorema exige la existencia del límite; por tanto, no nos ayuda a resolver el problema. Sin embargo, nos ofrece una información muy útil.
Planteemos calcular el volumen de un área en revolución, tanto sobre el eje OX como sobre el eje OY. En este caso el área de la región en cuestión esta comprendida entre dos funciones, 
, siendo 
.
Si lo estudiamos sobre el eje OX, la región sería la determinada por la función g(x) menos la correspondiente a la función f(x); es decir,
El primero en usar la palabra parábola fue Apolonio de Perge (c. 262-190 a. C.), en su tratado Cónicas, donde estudia con profusión las curvas obtenidas al cortar un cono mediante un plano que no pasa por su vértice.
A Apolonio también le debemos el enseñarnos que un espejo parabólico refleja de forma paralela los rayos emitidos desde su foco, lo que constituye la base de las antenas parabólicas.
Entre las propiedades de la parábola surgió una curiosidad: ¿cómo encontrar el área encerrada bajo un segmento parabólico? Estudiando el problema de la cuadratura del círculo, Arquímedes, encontró la solución para hallar el área de un segmento parabólico, y lo publicó en el libro Sobre la cuadratura de la parábola. Para demostrar sus resultados utiliza el método de exhaución, ideado por Eudoxo de Cnido.
Sin embrago, este método presupone que conoces el resultado al que quieres llegar y Arquímedes no da muestra en sus trabajos de cómo han surgidos esas ideas. Wallis en 1676 escribiría: «Al parecer Arquímedes ocultó adrede las huellas de su investigación, como si hubiera sepultado para la posteridad el secreto de su método de investigación».
Calculemos el volumen de un toro generado en la rotación de una circunferencia de radio 
alrededor de un eje a 
distancia del centro de la circunferencia.
Consideremos una circunferencia de radio , con el centro situado a una distancia del eje coordenado. Si hacemos girar la parte del semicírculo superior sobre el eje OY tendremos la mitad del toro que buscamos. La ecuación de la circunferencia en el primer cuadrante es 
.
Solo necesitamos aplicar la integral que nos permite calcular el volumen de un cuerpo en revolución:
Esta mañana Luis me ha enviado un fascinante póster que publicó la revista Muy Interesante:
Como podéis apreciar es una delicia. Me imagino que todos añadiríamos algún nombre, de quien pensamos que se han olvidado. Para mi faltan dos en Matemáticas: Arquímedes y Fermat.
Arquímedes fue el precursor del calculo integral y entre los que más, sino el que más, influyó en las matemáticas y física de finales del renacimiento.
Fermat se encuentra a la par de Descartes y Pascal, la diferencia es que Fermat utilizaba las matemáticas como entretenimiento y no se preocupó que la gente lo recordara como un genial matemático. En cierta medida es el precursor del cálculo diferencial y la teoría de números.
Y muchos más, tanto en matemáticas como en otras ciencias, pero hay que cortar en algún sitio. Es grato ver que revistas de divulgación empleen sus esfuerzos en hacernos llegar la verdadera importancia de los personajes que movieron el saber.
Sería interesante expandir el tramo de la informática, y hacerle más paradas. Si os animáis podríamos hacerlo entre todos. ¿Qué estación sería de partida?.
«Como se reconoce al león por sus garras«.
Johann Bernoulli
Ya he comentado en una anterior entrada las matemáticas de Johann Bernoulli, son tantas su contribución como la de sus hermanos y descendientes que dan para un capitulo aparte en las historia de las matemáticas.
Hoy me gustaría contar una anécdota entre él y el ilustre genio de su tiempo: Newton. Johann no solo era un reconocido matemático en 1696, además era un consabido ególatra. En junio de ese año, retó a la comunidad matemática a resolver un problema antes de que terminara el año. El problema nos pedía:
Dados dos puntos A y B en un plano vertical, hallar el camino AMB por el que una partícula móvil M, descendiendo por su propio peso, iría de A a B en el menor tiempo posible.
Hasta este problema el nuevo cálculo desarrollado por Newton y Leibniz resolvía los problemas de maximizar y minimizar curvas, pero ahora se trataba de encontrar una curva que minimizara una relación. Fue una idea totalmente innovadora.
Al concluir el tiempo estimado, cinco aspirantes optaron a dar la solución al problema. Leibniz, mentor y profesor de Johann, fue el primero en responder la misma solución que había encontrado su alumno. Después contestó su hermano Jacob, con quien mantenía una disputa exagerada, su alumno L’Hôpital (del hablé el pasado post) y un anónimo inglés. Se dice que Johann no dudó en reconocer la autoría del desconocido y lo expresó con una frase histórica: como se reconoce al león por sus garras.
«Yo creo que los números primos son como la vida. Son muy lógicos pero no hay manera de averiguar cómo funcionan, ni siquiera aunque pasaras todo el tiempo pensando en ellos».
– Christopher (El curioso incidente del perro a medianoche)
A lo largo de la historia de las matemáticas hay ciertos problemas que siempre han cautivado a los matemáticos; los derivados de los números primos están entre ellos. Desde que Euclides probase que existían infinitos números primos, muchos han intentado encontrar sucesiones, fórmulas, expresiones, etc, que nos diesen todos los números primos. Uno de esos intentos ha sido en encontrar progresiones aritméticas de números primos. Por ejemplo, 251, 257, 263, 269, son todos primos y se construye con 251+6n, n=0,1,2,3. Los primos no tiene que ser consecutivos, por ejemplo, 199+210n, n=0,…,10, genera una sucesión de 10 primos con na diferencia de 210.
La referencia a secuencia de numeros en libros y cine también es utilizada por los autores para intrigar a los lectores espectadores. Por ejemplo, en «Contac», la película de Robert Zemeckis, adaptada de la obra homónima escrita por Carl Sagan, la protagonista Ellie Arroway (Jodie Foster) descubre una secuencia de sonidos provenientes del espacio. Tras escucharla mejor, deciden que la secuencia de golpes de sonido no puede ser causal, debido a que los sonidos siguen un patrón muy concreto. Primero 2 sonidos, pausa, 3 sonidos, pausa, 5 sonidos, pausa, 7 sonidos, pausa, 11 sonidos, pausa, 13 sonidos,… Espero que intuyáis esta secuencia corresponde a los números primos. La secuencia se repite con los números primos del 1 al 100. Como se sabe que esta secuencia no posee un término general que la genere, cuando la escuchan deducen que ha sido emitida artificialmente y no de manera natural.
«Den al César lo que es del César, y a Dios lo que es de Dios»
Mateo,22,21.
La polémica del plagio de estos días me ha recordado varias cosas, unas las estoy preparando para otra entrada, otra versa sobre el robo de hallazgos matemáticos. Bueno, robo o apropiación indebida los hubo, los hay y los habrá siempre. Este es el caso de uno de ellos.
Guillaume François Antoine, marqués de L’Hôpital(París, 1661 – París, 2 de febrero de 1704) fue un matemático francés en cuyos hombros pesa la doliente carga del robo intelectual. Por el año 1691 el marqués conoció a un joven matemático, que dominaba los nuevos métodos impulsados por las recientes obras de Leibniz.
El joven se trataba de Johann Bernoulli, uno de los miembros de la famosa saga: los Bernuolli fueron a las matemáticos como los Strauss a la música. L’Hôpital decidió contratarlo para que lo instruyera, pagándole las clases al precio de medio sueldo de profesor universitario. Sin embargo, no se limitó a recibir educación por el estipendio, incluyó trabajos que el profesor no hubiese publicado.
Con estos nuevos conocimientos, el marqués, publicó su obra Analyse des infiniment petits pour l’intelligence des lignes courbes (1696) (‘Análisis de los infinitamente pequeños para comprender las líneas curvas’), donde enseña un nuevo procedimiento para calcular límites utilizando derivadas, que más tarde pasará a denominarse Regla de L’Hôpital.
A la muerte del marqués, Johann Bernoulli reivindicó su autoría, pero nadie le creyó. Tantos años después de la publicación nadie empañaría la memoria del famoso matemático francés.
Al César lo que es del César, y Johann Bernoulli lo que es Johann Bernoulli. Fue él quién descubrió la Regla, enseñándosela a su alumno L’Hôpital; pero, del mismo modo, es de justicia reconocer que L’Hôpital nunca se la atribuyó, simplemente omitió su procedencia.
«Ayuda al hombre que trata de levantar su carga, pero no al que la depone».
Precepto de los Pitagóricos.
El cole de los ‘pitagorines’ es la noticia que se leía el pasado 12 de diciembre en el País. En un colegio de Madrid estaban orgullos, porque su alumnos de sexto de Primaria eran los número uno la Prueba de Conocimientos y Destrezas Indispensables (CDI) de la Comunidad de Madrid. «Tenemos unos pitagorines de 12 años», comentaban con satisfacción las personas relacionadas con el colegio. Y es cierto, hay que sentirse orgulloso de los conocimientos de nuestros hijos, aunque el calificativo no sea el más apropiado.
Pitágoras, o Pitágoras de Samos, fue un griego que nació en la isla de Samos alrededor de 582 a.C. Se le conoce como matemático y filósofo, atendiendo que en aquellos tiempos ambas ciencias estaban muy relacionadas. Su vida nos es muy oscura pues no hay mucha información sobre ella y, en particular, de sus primeros años. Se cree que visitó múltiples sitios antes de instalarse en Crotona, en la Magna Grecia.
Eratóstenes (Cirene, 276 a. C. – Alejandría, 194 a. C.), fue un célebre matemático, astrónomo y geógrafo griego, que desarrolló gran parte de su trabajo en el egipto de la dinastía Ptolemaica. Esta fue la época de la construcción de la mítica biblioteca de Alejandría, de la cual se hizo cargo en 236 a.C. hasta el fin de sus días.
Se le conoce, principalmente, por el calculo y su precisión de la longitud de la circunferencia de la Tierra. Para ello se sirvió de una ingeniosa idea. Tenía conocimiento de una característica que acontecía todos los solsticios de verano en la localidad de Siena (actual Asuán) en Egipto. Ese día las palmeras no daban sombra lateral y la luz iluminaba el fondo de los pozos. Esto significaba que la luz incidía perpendicularmente a la corteza terrestre ese día en ese lugar.
Puesto que en otros lugares si había sombra, esto solo podía deberse a que la superficie de tierra formaba una curvatura. Esta conjetura se basaba en la suposición de que los rayos del Sol eran
paralelos en ambas localidades: Siena y un pueblo relativamente cercano.
Si la Tierra fuera plana la lejanía del Sol le justificaba para que los rayos incidieran de forma perpendicular en las dos ciudades y provocaría que, por ejemplo, un monolito no ofreciera sombra en el solsticio de verano. Sin embargo, esto no ocurría así.
La sombra que proyectaba un monolito de igual dimensión en Alenjandría significaba que la corteza de la tierra era curvada.
Eratóstenes no fue el primero en postular que la Tierra era redonda, ya hubo filósofos griegos como Pitágoras y Aristóteles que la concebían de ese modo. Sin embargo, si fue el primero en intentar determinar su circunferencia.
Sigamos viendo como determinó la longitud. El día del solsticios de verano en Siena los rayos solares caían en línea con un palo clavado perpendicularmente en el suelo. Mientras que, a 4900 estadios de Siena, en Alejandría los rayos paralelos del Sol harían sombra sobre un palo clavado perpendicularmente al suelo.
Se refleja la localidad de Siena y A la de Alejandría. r y r’ son los rayos de Sol paralelos que inciden sobre los palos, reflejados por los segmentos extendidos
y
, clavados perpendicularmente en Siena y alejandría respectivamente.
Eratóstenes sabía que la secante que corta dos paralelas produce ángulos iguales, y ,por tanto, los ángulos α y β eran iguales. Calculando el ángulo β obtuvo 7º, lo que significaba que el ángulo α de 7º correspondería a un longitud de arco de 4900 estadios. Ahora solo se necesitaba una regla de tres para determinar la longitud completa de la circunferencia:
Había calculado la longitud de la circunferencia de la Tierra en 252000 estadios. Los griegos utilizaban como unidad de longitud el estadio, que equivalía a la longitud del estadio de Olimpia, unos 174,125 metros. Sin embargo, en Egipto se utilizaba un estadio de 157,2m, y se cree que la medida empleada por Eratóstenes equivaldría a 158m. Luego sus cálculos obtuvieron una longitud de 39816km y un radio de 6336,89km.
Independientemente del valor del estadio, que nos ofrecería diferencias en los resultados obtenidos bien por exceso o defecto, la aproximación que dio es muy considerable para la época y los medios que disponía.