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Docencia

El problema de la braquistocroma

«Como se reconoce al león por sus garras«.
Johann Bernoulli

Ya he comentado en una anterior entrada las matemáticas de Johann Bernoulli, son tantas su contribución como la de sus hermanos y descendientes que dan para un capitulo aparte en las historia de las matemáticas.

Hoy me gustaría contar una anécdota entre él y el ilustre genio de su tiempo: Newton. Johann no solo era un reconocido matemático en 1696, además era un consabido ególatra. En junio de ese año, retó a la comunidad matemática a resolver un problema antes de que terminara el año. El problema nos pedía:

Dados dos puntos A y B en un plano vertical, hallar el camino AMB por el que una partícula móvil M, descendiendo por su propio peso, iría de A a B en el menor tiempo posible.

Hasta este problema el nuevo cálculo desarrollado por Newton y Leibniz resolvía los problemas de maximizar y minimizar curvas, pero ahora se trataba de encontrar una curva que minimizara una relación. Fue una idea totalmente innovadora.

Al concluir el tiempo estimado, cinco aspirantes optaron a dar la solución al problema. Leibniz, mentor y profesor de Johann, fue el primero en responder la misma solución que había encontrado su alumno. Después contestó su hermano Jacob, con quien mantenía una disputa exagerada, su alumno L’Hôpital (del hablé el pasado post) y un anónimo inglés. Se dice que Johann no dudó en reconocer la autoría del desconocido y lo expresó con una frase histórica: como se reconoce al león por sus garras.

Sucesiones de primos

«Yo creo que los números primos son como la vida. Son muy lógicos pero no hay manera de averiguar cómo funcionan, ni siquiera aunque pasaras todo el tiempo pensando en ellos».
– Christopher (El curioso incidente del perro a medianoche)

Contac
A lo largo de la historia de las matemáticas hay ciertos problemas que siempre han cautivado a los matemáticos; los derivados de los números primos están entre ellos. Desde que Euclides probase que existían infinitos números primos, muchos han intentado encontrar sucesiones, fórmulas, expresiones, etc, que nos diesen todos los números primos. Uno de esos intentos ha sido en encontrar progresiones aritméticas de números primos. Por ejemplo, 251, 257, 263, 269, son todos primos y se construye con 251+6n, n=0,1,2,3. Los primos no tiene que ser consecutivos, por ejemplo, 199+210n, n=0,…,10, genera una sucesión de 10 primos con na diferencia de 210.

La referencia a secuencia de numeros en libros y cine también es utilizada por los autores para intrigar a los lectores espectadores. Por ejemplo, en «Contac», la  película de Robert Zemeckis, adaptada de la obra homónima escrita por Carl Sagan, la protagonista Ellie Arroway (Jodie Foster) descubre una secuencia de sonidos provenientes del espacio. Tras escucharla mejor, deciden que la secuencia de golpes de sonido no puede ser causal, debido a que los sonidos siguen un patrón muy concreto. Primero 2 sonidos, pausa, 3 sonidos, pausa, 5 sonidos, pausa, 7 sonidos, pausa, 11 sonidos, pausa, 13 sonidos,… Espero que intuyáis esta secuencia corresponde a los números primos. La secuencia se repite con los números primos del 1 al 100. Como se sabe que esta secuencia no posee un término general que la genere, cuando la escuchan deducen que ha sido emitida artificialmente y no de manera natural.

El marqués y su maestro

«Den al César lo que es del César, y a Dios lo que es de Dios»
Mateo,22,21.

La polémica del plagio de estos días me ha recordado varias cosas, unas las estoy preparando para otra entrada, otra versa sobre el robo de hallazgos matemáticos. Bueno, robo o apropiación indebida los hubo, los hay y los habrá siempre. Este es el caso de uno de ellos.

Guillaume François Antoine, marqués de L’Hôpital(París, 1661 – París, 2 de febrero de 1704) fue un matemático francés en cuyos hombros pesa la doliente carga del robo intelectual. Por el año 1691 el marqués conoció a un joven matemático, que dominaba los nuevos métodos impulsados por las recientes obras de Leibniz.

El joven se trataba de Johann Bernoulli, uno de los miembros de la famosa saga: los Bernuolli fueron a las matemáticos como los Strauss a la música. L’Hôpital decidió contratarlo para que lo instruyera, pagándole las clases al precio de medio sueldo de profesor universitario. Sin embargo, no se limitó a recibir educación por el estipendio, incluyó trabajos que el profesor no hubiese publicado.

Con estos nuevos conocimientos, el marqués, publicó su obra Analyse des infiniment petits pour l’intelligence des lignes courbes (1696) (‘Análisis de los infinitamente pequeños para comprender las líneas curvas’), donde enseña un nuevo procedimiento para calcular límites utilizando derivadas, que más tarde pasará a denominarse Regla de L’Hôpital.

A la muerte del marqués, Johann Bernoulli reivindicó su autoría, pero nadie le creyó. Tantos años después de la publicación nadie empañaría la memoria del famoso matemático francés.

Al César lo que es del César, y Johann Bernoulli lo que es Johann Bernoulli. Fue él quién descubrió la Regla, enseñándosela a su alumno L’Hôpital; pero, del mismo modo, es de justicia reconocer que L’Hôpital nunca se la atribuyó, simplemente omitió su procedencia.

Pitagóricos

«Ayuda al hombre que trata de levantar su carga, pero no al que la depone».
Precepto de los Pitagóricos.

El cole de los ‘pitagorines’ es la noticia que se leía el pasado 12 de diciembre en el País. En un colegio de Madrid estaban orgullos, porque su alumnos de sexto de Primaria eran los número uno la Prueba de Conocimientos y Destrezas Indispensables (CDI) de la Comunidad de Madrid. «Tenemos unos pitagorines de 12 años», comentaban con satisfacción las personas relacionadas con el colegio. Y es cierto, hay que sentirse orgulloso de los conocimientos de nuestros hijos, aunque el calificativo no sea el más apropiado.

Pitágoras, o Pitágoras de Samos, fue un griego que nació en la isla de Samos alrededor de 582 a.C. Se le conoce como matemático y filósofo, atendiendo que en aquellos tiempos ambas ciencias estaban muy relacionadas. Su vida nos es muy oscura pues no hay mucha información sobre ella y, en particular, de sus primeros años. Se cree que visitó múltiples sitios antes de instalarse en Crotona, en la Magna Grecia.

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Eratóstenes

Eratóstenes (Cirene, 276 a. C. – Alejandría, 194 a. C.), fue un célebre matemático, astrónomo y geógrafo griego, que desarrolló gran parte de su trabajo en el egipto de la dinastía Ptolemaica. Esta fue la época de la construcción de la mítica biblioteca de Alejandría, de la cual se hizo cargo en 236 a.C. hasta el fin de sus días.

Se le conoce, principalmente, por el calculo y su precisión de la longitud de la circunferencia de la Tierra. Para ello se sirvió de una ingeniosa idea. Tenía conocimiento de una característica que acontecía todos los solsticios de verano en la localidad de Siena (actual Asuán) en Egipto. Ese día las palmeras no daban sombra lateral y la luz iluminaba el fondo de los pozos. Esto significaba que la luz incidía perpendicularmente a la corteza terrestre ese día en ese lugar.

Puesto que en otros lugares si había sombra, esto solo podía deberse a que la superficie de tierra formaba una curvatura. Esta conjetura se basaba en la suposición de que los rayos del Sol eran
paralelos en ambas localidades: Siena y un pueblo relativamente cercano.

Si la Tierra fuera plana la lejanía del Sol le justificaba para que los rayos incidieran de forma perpendicular en las dos ciudades y provocaría que, por ejemplo, un monolito no ofreciera sombra en el solsticio de verano. Sin embargo, esto no ocurría así.

La sombra que proyectaba un monolito de igual dimensión en Alenjandría significaba que la corteza de la tierra era curvada.

Eratóstenes no fue el primero en postular que la Tierra era redonda, ya hubo filósofos griegos como Pitágoras y Aristóteles que la concebían de ese modo. Sin embargo, si fue el primero en intentar determinar su circunferencia.

Sigamos viendo como determinó la longitud. El día del solsticios de verano en Siena los rayos solares caían en línea con un palo clavado perpendicularmente en el suelo. Mientras que, a 4900 estadios de Siena, en Alejandría los rayos paralelos del Sol harían sombra sobre un palo clavado perpendicularmente al suelo.

Se refleja la localidad de Siena y A la de Alejandría. r y r’ son los rayos de Sol paralelos que inciden sobre los palos, reflejados por los segmentos extendidos y , clavados perpendicularmente en Siena y alejandría respectivamente.

Eratóstenes sabía que la secante que corta dos paralelas produce ángulos iguales, y ,por tanto, los ángulos α y β eran iguales. Calculando el ángulo β obtuvo 7º, lo que significaba que el ángulo α de 7º correspondería a un longitud de arco de 4900 estadios. Ahora solo se necesitaba una regla de tres para determinar la longitud completa de la circunferencia:

Había calculado la longitud de la circunferencia de la Tierra en 252000 estadios. Los griegos utilizaban como unidad de longitud el estadio, que equivalía a la longitud del estadio de Olimpia, unos 174,125 metros. Sin embargo, en Egipto se utilizaba un estadio de 157,2m, y se cree que la medida empleada por Eratóstenes equivaldría a 158m. Luego sus cálculos obtuvieron una longitud de 39816km y un radio de 6336,89km.

Independientemente del valor del estadio, que nos ofrecería diferencias en los resultados obtenidos bien por exceso o defecto, la aproximación que dio es muy considerable para la época y los medios que disponía.

 

La fórmula de Euler

Los números complejos nos ofrecen una fórmula muy útil,

que se conoce con el nombre de fórmula de Euler.

La fórmula de Euler se debe al matemático del mismo nombre. Leonhard Euler nació el 15 de abril de 1707 en Basilea (Suiza) y murió el 18 de septiembre de 1783 en San Petersburgo (Rusia). Fue considerado el más grande matemático de su tiempo y uno de los más grandes de la historia. Es normal deducir la fórmula de De Moivre de la de Euler, pero el proceso fue al revés. Euler partió del resultado de De Moivre para obtener su fórmula.

Inicialmente Euler conocía que

de donde obtuvo

A continuación tomó a como infinitesimal y n como infinitamente grande. Dedujo que las relaciones entre a y n son tales que su producto es finito, , y añadiendo que

resuelve que

,.

De donde se deduce la fórmula de Euler.

De esta fórmula podemos obtener una de las igualdades más famosas de las matemáticas

eiπ + 1=0.

William Dunham nos refiere otra curiosidad en su libro sobre Euler (“Euler. El maestro de todos los matemáticos”. Edt Nivola, 2001,). En sus “Elementos de Álgebra”, Euler describe a como “…ni nada, ni más grande que nada, ni menos que nada…” y observó “…somos llevados hacia la idea de números que son imposibles por su propia naturaleza y que, por tanto, son habitualmente llamados cantidades imaginarias, ya que existen únicamente en la imaginación. …no obstante, estos números aparecen en nuestra mente, existen en nuestra imaginación y tenemos suficiente idea de ellos:…nada nos impide hacer uso de estos números imaginarios y emplearlos en el cálculo”.

Derivadas

El proceso de la obtención de la derivada es consecuencia del estudio para resolver el problema del trazado de la tangente a una curva plana en uno de sus puntos. Cuando en el siglo XVI y XVII abordaron dicho  problema, lo planteaban como la última de la sucesión de secantes que pasando por A cortaban a una sucesión de puntos Mi   que se acercaban infinitamente a A. Sin mostrarlo explícitamente hablaban de manera implícita del límite.


Tangente
en



Este problema de las tangentes no nació en el siglo XVI, ya los griegos se interesaron en determinar la recta a una curva que solo la tocaba en un punto determinado sin cortarla, a esta la llamaron tangente. Así lo definió Euclides en sus Elementos. Posteriormente otros como Apolonio y Arquímedes se interesaron por el problema, extendiéndolo como hizo Apolonio a las secciones cónicas. Hasta que a finales del siglo XVI se redescubrió la geometría griega. Pero en este tiempo la geometría estaba siendo revolucionada por Descartes y Fermat, y con ella el problema de determinar la tangente a una curva en cualquiera de sus punto se volvía más interesante.

Pierre de Fermat (Beaumont-de-Lomagne, Francia, 17 de agosto de 1601 – Castres, Francia, 12 de enero de 1665), era un jurista al que le encantan las matemáticas. En 1629 se hizo con una copia del trabajo de Apolonio. En contacto con otros matemáticos hablo de descubrimientos obtenidos tras leer el libro, sin embargo era reacio a publicarlos. En 1636 otro matemático, Mersenne, enterado de alguno de los logros que anunciaba Fermat le insistió para que los publicara y compartiera con el resto de la comunidad de matemáticos. Su obra versaba, entre otras cosas, sobre un método para determinar la tangente a una curva. Newton más tarde reconocería en la obra de Fermat el primer paso hacía el descubrimiento del cálculo diferencial.

Fermat fue poco dado a demostrar sus resultados, en gran medida, hoy sabemos de ellos gracias a la correspondencia con su amigo Mersenne.

Para más información se puede consultar “Fermat y los orígenes del cálculo diferencial” de Pedro Miguel González Urbaneja, Editorial Nivola.

 

John Napier

John Napier (1550-1617) fue quien primero desarrollo la idea de logaritmo. Utilizaba las matemáticas como un hobby y se interesó por el estudio que de ciertas progresiones geométricas había realizado Arquímedes. Veía, como Arquímedes, la curiosa relación de la multiplicación de dos términos de la progresión se relaciona con la suma de la posición que ocupaba en la progresión. Esta relación era muy importante para calcular productos de números, aunque en ese momento era más frecuente calcular los productos mediante fórmulas trigonométricas.

Si se deseaba calcular el producto de ab se utilizaba fórmulas como

 producto de senos

calcular la suma y la resta resultaba más sencillo, y habían extensas tablas de senos que daban los resultados. Estas tablas no eran las únicas, existían otras fórmulas que proveían de sus respectivas tablas para resolver productos costosos sin error. Estos cálculos resultaban muy demandados con los nuevos avances en campos de la ciencia, como la astronomía, que se estaban produciendo.

En ese empeño, Napier dedujo la función logarítmica con la propiedad que resultó fundamental

log(ab)=log(a)+log(b),

y las otras propiedades. Ahora la multiplicación se convertía en suma, la división en resta y la potencia en multiplicación, solo se necesitaba de unas buenas tablas de logaritmos. Unos años después de que en 1614 Napier publicara sus hallazgos, el profesor de matemáticas en la Universidad de Oxford, Henry Briggs, le sugirió la utilización de la base decimal para el cálculo de las tablas de logaritmos. Esto ayudo en gran medida a la implantación del sistema decimal.

El mérito de los logaritmos no se debe en exclusiva a Napier, también aportó el relojero y matemático suizo Joost Bürgi, quien estaba muy involucrado en técnicas rápidas para calcular productos. Su visión fue sobre considerar la base 1.0001, y estudiando las potencias de 1.0001^n dedujo las tablas de logaritmos de Bürgi.

Logaritmos

Es curioso como a veces encuentras explicaciones sencillas en los sitios menos esperados. Explicando a los alumnos una respuesta a la eterna pregunta: ¿para qué sirve…?, les comenté, lo que he encontrado en una web de medicina posiblemente de manera más simple, que la extensa explicación que les he dado. Será deformación de matemático.

Os dejo el artículo Logaritmos de Adrián Paenza, doctor en matemáticas y autor de libro «Matemática…¿Estás ahí?».

Quiero contar una breve historia. No estoy seguro de que haya sido exactamente así, pero es un recuerdo distorsionado de mi pasado.

Para fijar las ideas, digamos que tenía entre 7 y 8 años. Mi padre solía charlar conmigo sobre diferentes situaciones de la vida cotidiana. Trataba de interesarme en lo que sucedía a mi alrededor. Vivió (y mi madre también, claro) intentando que mi hermana y yo entendiéramos la importancia de respetar al otro, de ser generosos, solidarios. No sé si lo consiguió, pero ciertamente lo intentó.

Recuerdo que una vez trajo un librito pequeño, con muchas páginas. Cada página tenía muchos números. Muchos. Cada número figuraba en una pequeña tabla. Si la memoria no me traiciona, creo que en el lomo (del libro) decía: “Tablas de logaritmos de Lalande”.

Aunque parezca raro, mi idea, al ver tantos números, era saber si podía descubrir cómo estaban ordenados y qué patrón podía encontrar. Era fácil advertir que estaban dispuestos de menor a mayor, pero ¿qué separaba a uno del siguiente? ¿Cómo hacer para calcular el próximo sabiendo el anterior?

No me daba cuenta de que, si hubiera habido una manera de hacerlo, ¿para qué alguien habría de escribir y publicar un libro sobre el tema? Es decir, si hubiera habido alguna forma de descubrir el número siguiente, conociendo el anterior, no tendría sentido escribir esas tablas. Sería equivalente a que aparecieran publicadas las tablas de multiplicar.

La pregunta obvia era entonces: ¿para qué sirven? ¿Qué son los logaritmos?

Mi viejo me preguntó: “¿Qué es más fácil: multiplicar o sumar?”. Yo contesté lo mismo que usted está pensando: “sumar”.

Luego –como era esperable– vino otra pregunta de mi padre: “¿Qué es más fácil: calcular potencias de números o multiplicar?”, que obtuvo la respuesta obvia: “multiplicar”.

Y eso, aunque parezca una banalidad, es lo que uno tiene que saber si quiere hacer cálculos en forma más sencilla. Obviamente, en la década de 1950 no había calculadoras ni computadoras. Por lo tanto, si uno tenía que hacer operaciones con números grandes (de muchos dígitos), usar logaritmos era la forma de abordarlos.

En esencia, los logaritmos ayudan a multiplicar números de muchos dígitos. Si bien no voy a hacer acá el desarrollo de la teoría de los logaritmos, lo primero que uno aprende de ellos es que si tuviera que multiplicar dos números “grandes”, lo que hace es calcularles el logaritmo a ambos, luego sumar esos logaritmos y, después, se vuelve para atrás (lo que en la escuela se llama “calcular el antilogaritmo”, o bien uno vuelve para atrás con la función exponencial).

Para simplificar, supongamos que uno tiene que multiplicar dos números escritos como potencias de 10. Digamos 105 x 107 . Dicho de otra forma:

100.000 x 10.000.000 (*),

o sea, cien mil por diez millones.

El número 5 –que aparece en 105– cuenta la cantidad de “ceros” que tiene el primer número, y de la misma forma el número 7 –que aparece en 107–cuenta el número de ceros que tiene el segundo.

Entonces, si uno calcula los logaritmos de ambos, obtiene 5 y 7. Los suma y obtiene el número 12. “Volver para atrás”, en este caso, significa poner un uno seguido de doce ceros, y por lo tanto, el resultado de multiplicar 105 x 107 = 1012= 1.000.000.000.000.

La cantidad de dígitos que tiene un número indica cuán grande es. Lo que hace el logaritmo de ese número –entre otras cosas– es detectar cuántos dígitos tiene y, por lo tanto, saber qué tamaño tiene.

De esa forma, uno tiene idea del tamaño que tendrá el producto. Después lo podrá calcular con mayor o menor precisión, pero estimar el número de dígitos permite estimar el tamaño del producto.

Por supuesto, los logaritmos tienen múltiples aplicaciones que sería imposible enumerar acá. Pero, al menos ahora, si alguien viene y le pregunta para qué puede servir conocer el logaritmo de un número, usted le puede contestar que tener ese dato permite saber (entre otras cosas) el tamaño del número. Permite también convertir multiplicaciones en sumas y potencias en productos. Se usan para convertir cuentas complicadas en otras mucho más sencillas.

Pero el logaritmo (y su inversa, la función exponencial) también se usa para medir la intensidad de un terremoto (en la escala de Richter), para evaluar cuánto tiempo llevaría la solución de un problema mediante una computadora (lo que se llama estimar la complejidad de un proceso), para describir el decaimiento radiactivo de una sustancia, para medir cómo se expande una enfermedad o cómo crece o decrece una colonia de bacterias, para calcular cómo crece un determinado capital invertido en un banco a un cierto interés, en múltiples ocasiones en ingeniería y física… y la lista continúa. Hasta para medir semitonos en las partituras de música están presentes.

Para todos aquellos que nacimos antes de la era de las calculadoras-computadoras, usar logaritmos y reglas de cálculo era nuestra única salvación. Los usábamos para resolver operaciones larguísimas y cuentas tediosas que, hoy, abordamos con total naturalidad. Lo que pasa es que hoy nos resultan transparentes. Están, sí, pero no se los ve.

(*) 105 = 100.000 y 107= 10.000.000

¿Cómo definirías un conjunto?

El pasado día planteé esta pregunta a mis alumnos de Teleco.

Pensémoslo un poco.

¿Tenemos ya una respuesta?, pues espera un poco, primero quiero hablarte de una película.

La película Los crímenes de Oxford, basada en una novela de Guillermo Martínez, comienza con la lección magistral del profesor Arthur Seldom. En ella Seldom expone la imposibilidad de conocer la verdad, resultado obtenido del trabajo de Ludwig Wittgenstein. Según Seldom, Wittgenstein intentaba dar una estructura lógica que llevase a la “Verdad”. En su libro, Tractatus Logico-Philosophicus, Wittgenstein afirma la expresión con la que se concluye la disertación del profesor: “De lo que no se puede hablar, hay que callar”. Esto lleva al profesor a desdeñar la posibilidad de encontrar la verdad fuera de las matemáticas.

En el Tractatus, Wittgenstein, intenta explicar el funcionamiento de la lógica, que ya había sido desarrollada por diferentes filosofos y matemáticos como Frege y por Bertrand Russell. De hecho Wittgenstein fue alumno de Russell.

Frege y Russell se empeñaron en buscar un conjunto de verdades de las que se pudiese cimentar cualquier otra verdad. Esa “Verdad”, que Seldom le explicaba a sus alumnos, solo presente dentro de las matemáticas. Cuando Frege creyó haberlo conseguido, Russell le envió una carta que echó por tierra todo su trabajo.

En 1902, tras el primer volumen de su Leyes básicas de la Aritmética(1893) donde había trabajado con las nuevas ideas de Cantor sobre conjuntos, creía establecidos los fundamentos correctos de la teoría de conjuntos. Donde la misma definición de conjunto era consistente. Sin embargo, Russell le planteo un problema:

Supongamos que tenemos un conjunto cuyos elementos son los conjuntos que no se tienen a sí mismos como elemento: M={X | Xnotin X}. ¿Es Min M?. Esta pregunta tiene trampa, pues si aceptamos que Min M, por la definición del conjunto M, será Mnotin M. Por tanto, Mnotin M, entonces la definición justifica que Min M.

Este resultado se conoce como La paradoja de Russell, y echa por tierra la facilidad con la creemos poder decir qué es un conjunto.

“¿Qué es un conjunto?” es una pregunta difícil de contestar, es más fácil definir los conjuntos con lo que trabajaremos.