Volumen del toro

Calculemos el volumen de un toro generado en la rotación de una  circunferencia de radio alrededor de un eje a distancia del centro de la circunferencia.

Consideremos una circunferencia de radio , con el centro situado a una distancia del eje coordenado. Si hacemos girar la parte del semicírculo superior sobre el eje OY tendremos la mitad del toro que buscamos. La ecuación de la circunferencia en el primer cuadrante es .

Solo necesitamos aplicar la integral que nos permite calcular el volumen de un cuerpo en revolución:

Encontremos la primitiva para aplicar la Regla de Barrow.

Ahora que tenemos la primitiva, la aplicamos

¿CÓMO?, ¿dónde me he equivocado?…


5 comentarios

  • pedro

    12 mayo, 2009

    Si haces una sección transversal al toro se convierte en un cilindro de altura 2pi *R. Con lo que el volumen es pi*r^2*2pi*R. ¿No?

  • Jesús Soto

    12 mayo, 2009

    Cometes un error de concepción, aunque cortes el toro nunca obtendrías un cilindro. Piensa en un neumático de coche y córtalo.

  • Cristian

    16 marzo, 2011

    El volumen si da 0? osea no tendria que quedar indicado con la formula del volumen del toro que en este caso seria V = 2·π2·r2·R enontcs no entiendo por que da 0

  • chryss

    2 mayo, 2011

    el error esta al principio, cuando considera que (x-R), esto es falso, simplemente es x, por que los limites de integracion ya le estan idicando de x está variando entre (R-r) y (R+r),

    es decir que nos queda la integral de 2(pi) x [rais(r^2 – (x-R)^2) dx

  • Sebastian

    6 mayo, 2011

    Hola el error es que tomas la circunferencia total por lo tanto estas sumando y restando lo mismo es decir en términos de f(x) le estas restando la parte negativa de la raíz a la parte positiva de la raíz, por eso el resultado es 0, en términos cartesianos fijémonos en el toro vemos que es simetrico con respecto a x por lo tanto tiene el mismo volumen por encima de x (raíz positiva) que por debajo (raiz negativa) y ala hora de operar estas sumando tanto los valores positivos en y como los negativos.

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