Cuestión de criterio

Estudiemos el carácter de la serie

.

Podemos plantear resolverlo atacando directamente con el criterio del cociente:

Que la solución sea infinito nos impide utilizar el criterio como se menciona en el Teorema 9.2.8. Este teorema exige la existencia del límite; por tanto, no nos ayuda a resolver el problema. Sin embargo, nos ofrece una información muy útil.

Consideremos

que el cociente

nos dice que el numerador crece más deprisa que el denominador; es decir,

al menos a partir de un cierto n. Consecuencia lógica de que

Este resultado ya nos advierte que la serie no puede ser convergente, pues

que entra en contradicción si la serie fuera convergente.

Nos alberga la duda sobre que hacer en el caso de que, como anteriormente ocurre, el cociente de dos términos consecutivos tienda a infinito. Enunciaré otro resultado para ver si quizás nos resuelva la duda:

Teorema [Criterio del cociente] Sea

una serie de términos positivos. Si existe un número real ,
tal que

para todo n, la serie es convergente. Si

para todo n, la serie es divergente.

¿Es aplicable este criterio para resolver el ejercicio?.

Si queréis bajaros el ejercicio finchad aquí.