Estudiemos el carácter de la serie
.
Podemos plantear resolverlo atacando directamente con el criterio del cociente:
Que la solución sea infinito nos impide utilizar el criterio como se menciona en el Teorema 9.2.8. Este teorema exige la existencia del límite; por tanto, no nos ayuda a resolver el problema. Sin embargo, nos ofrece una información muy útil.
Consideremos
que el cociente
nos dice que el numerador crece más deprisa que el denominador; es decir,
al menos a partir de un cierto n. Consecuencia lógica de que
Este resultado ya nos advierte que la serie no puede ser convergente, pues
que entra en contradicción si la serie fuera convergente.
Nos alberga la duda sobre que hacer en el caso de que, como anteriormente ocurre, el cociente de dos términos consecutivos tienda a infinito. Enunciaré otro resultado para ver si quizás nos resuelva la duda:
Teorema [Criterio del cociente] Sea
una serie de términos positivos. Si existe un número real 
,
tal que
para todo n, la serie es convergente. Si
para todo n, la serie es divergente.
¿Es aplicable este criterio para resolver el ejercicio?.
Si queréis bajaros el ejercicio finchad aquí.
José Manuel Guirao
9 febrero, 2009Supuestamente wordpress permite poner formulas directamente usando el latex…
$latex mathop{lim}limits_{x to infty}frac{1}{x}=0$