La fórmula de Euler

Los números complejos nos ofrecen una fórmula muy útil,

que se conoce con el nombre de fórmula de Euler.

La fórmula de Euler se debe al matemático del mismo nombre. Leonhard Euler nació el 15 de abril de 1707 en Basilea (Suiza) y murió el 18 de septiembre de 1783 en San Petersburgo (Rusia). Fue considerado el más grande matemático de su tiempo y uno de los más grandes de la historia. Es normal deducir la fórmula de De Moivre de la de Euler, pero el proceso fue al revés. Euler partió del resultado de De Moivre para obtener su fórmula.

Inicialmente Euler conocía que

de donde obtuvo

A continuación tomó a como infinitesimal y n como infinitamente grande. Dedujo que las relaciones entre a y n son tales que su producto es finito, , y añadiendo que

resuelve que

,.

De donde se deduce la fórmula de Euler.

De esta fórmula podemos obtener una de las igualdades más famosas de las matemáticas

eiπ + 1=0.

William Dunham nos refiere otra curiosidad en su libro sobre Euler (“Euler. El maestro de todos los matemáticos”. Edt Nivola, 2001,). En sus “Elementos de Álgebra”, Euler describe a como “…ni nada, ni más grande que nada, ni menos que nada…” y observó “…somos llevados hacia la idea de números que son imposibles por su propia naturaleza y que, por tanto, son habitualmente llamados cantidades imaginarias, ya que existen únicamente en la imaginación. …no obstante, estos números aparecen en nuestra mente, existen en nuestra imaginación y tenemos suficiente idea de ellos:…nada nos impide hacer uso de estos números imaginarios y emplearlos en el cálculo”.


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