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Docencia

Stewart Calculus

stewartcalculusLos libros de Stewart son muy buenos, en particular los de Calculus ofrecen a los estudiantes de ingenierías de primero de universidad o preuniversitarios, los conocimientos necesarios y suficientes para llevar las asignaturas de cálculo con facilidad. Facilidad dentro de lo condensado del temario y la escasa dedicación que dejan los créditos actuales. Nos quejamos del deficiente nivel en matemáticas que traen nuestros alumnos, al tiempo que los créditos de matemáticas en las ingenierías bajan como la espuma: incongruencias típicas del momento en que vivimos.

¿Que podemos hacer?, invitar a nuestros alumnos a documentarse más allá de esperar que le demos los apuntes escritos. Apuntes que no pueden contener todas las explicaciones que quisiéramos, ni todas las necesidades que nuestros alumnos nos demandan. Es de agradecer el esfuerzo de las editoriales en proveer de documentos y complementos que ayuden a los estudiantes, de manera libre como encontraréis buceando en los enlaces de la web de Stewart Calculus.

Ecuación diferencial de Bernoulli

Una ecuación diferencial de la forma $$y’+a(x)y=b(x)y^n$$ se denomina ecuación de Bernoulli. Hace referencia al mayor de los Bernoulli, Jakob(1654-1705), de cuya familia tenemos amplios conocimientos en las matemáticas. Jakob la mostró en 1695 en «Explicationes, Annotationes & Additiones ad ea, quae in Actis sup. anni de Curva Elastica, Isochrona Paracentrica, & Velaria, hinc inde memorata, & paratim controversa legundur; ubi de Linea mediarum directionum, alliisque novis», Acta Eruditorum.

Un curiosidad de esta ecuación es que si $n>1$ podemos considerar $z=y^{1-n}$, resulta $z’=-\frac{n-1}{y^n}y’$, y la ecuación anterior se puede expresar como $$z’+(1-n)a(x)z=(1-n)b(x),$$ una ecuación diferencial lineal.

Esta sustitución se le ocurrió a Leibniz, mentor de los hermanos Jakob y Johann(quien también la había resuelto, pero por otro método), en 1696. El inconveniente es que eliminamos las solución singular $y=0$, pero teniéndolo en cuenta podemos utilizar este método.

Por ejemplo en el siguiente problema: El modelo de crecimiento de von Bertalanffy, plantea un modelo matemático de la población de peces, en concreto la predicción del crecimiento de un tipo de pez: $$\frac{dW}{dt}=\alpha W^{\frac{2}{3}}-\beta W,$$ donde $W=W(t)$ representa el peso del un pez, y $\alpha$ y $\beta$ son constantes positivas.

Como el problema presenta una ecuación de Bernoulli, podemos resolver fácilmente preguntas del tipo: la solución general de la ecuación, el peso límite del pez ($W_\infty=\lim_{t\to\infty}W(t)$), o una solución para el problema de valor inicial $W(0)=0$. Como veis, una potente herramienta.

Matemáticas imposibles

En la corrección de ejercicios es común encontrar confusiones  y erratas. Por desgracia,  también equivocaciones que dan mucho donde pensar. Pongamos un ejemplo:

Está claro que el alumno se encontró con una gran dificultad al abordad $\log(\tan(px))$, decidiéndose por comprender $\tan(px)$ como un producto de $\tan$ por $px$, de ahí que aplique la propiedad de los logaritmos par el producto:
$$\log(\tan(px))=\log(\tan)+\log(px)$$
Pero como $\log(\tan)$ le sonaba raro decide introducir la $x$ y así dar sentido a la expresión
$$\log(\tan(px))=\log(\tan x)+\log(px).$$
Ahora parece hasta lógica.

Otro alumno optó por modificar $\tan$ para que su significado fuese más claro:

De este modo la complejidad del $\tan$ se solventa al sustituir $\tan=\frac{\sin x}{\cos x}$. Puesto a contar con esta obviedad, el resto conlleva otras más livianas, dentro de la premisa: si la primera es muy gorda y pasa, por el resto no hay que preocuparse.

Como he dicho: mucho que pensar.